Fatoração

Colocando um fator comum em evidência

Em alguns casos é necessário escrever um polinômio na forma de um produto de polinômios. Nesses casos, estamos realizando uma fatoração.

Veja como podemos fatorar o polinômio 5x² + 15x

    Inicialmente, decompomos cada termo do polinômio em um produto de fatores:

5x² = 5 . x . x      15x = 3 . 5 . x

Note que o 5 e o x são fatores comuns aos dois termos do polinômio.

Assim podemos escrever esse fator multiplicando os outros fatores que não são comuns. Nesse caso, dizemos que 5x foi colocado em evidência.

5x.x + 3 .5x = 5x (x+3)

Portanto a forma fatorada de 5x² + 15x é 5x (x+3)

Podemos verificar se a fatoração está correta utilizando a propriedade distributiva da multiplicação e observando se o resultado obtido é o mesmo polinômio inicial.

5x (x+3) = 5x.x + 5x.3 = 5x² +15x

Veja outros exemplos:

a)      3x -3x² = 3.x – 3.x.x = 3x (1-x)

b)      4x +4xy = 4.x + 4.x+y = 4x (1+y)

c)       2x² + 8x³ = 2.x.x + 2.2.2.x.x.x = 2x² (x+4x²)

d)      4x -8x² = 2.2.x -2.2.2.x.x = 2.2.x (1-2x) = 4x (1-2x)

e)      5x²y +20xy² = 5.x.x.y +2.2.5.x.y.y = 5xy (x +4y)

Fatoração de um trinômio quadrado perfeito

Podemos fatorar também um trinômio quadrado perfeito.

Vimos anteriormente que a² +2ab +b² = (a+b)²

Nesse caso, (a+b)² é a forma fatorada do trinômio a² +2ab +b²

Vimos também que o trinômio a² -2ab +b² = (a-b)².

Nesse caso, (a-b)² é a forma fatorada do trinomio a² -2ab +b².

Veja alguns exemplos:

a)      x² +2xy +y² = (x+y)²

b)      9a² -24ab +16b² = (3a -4b)²

c)       4m²n² + 16mn +16 = (2mn +4)²

    Agora que você já sabe como realizar a fatoração de polinômios, que tal praticar com esses exercícios? E aqui segue a resposta do desafio inicial.