Propriedades das raízes
Transformação de raiz em potência
Podemos transformar uma raiz em uma potência, para isso, colocamos a base do radicando como a base da potência, o seu expoente vira o numerador e o índice o denominador da fração do expoente. Veja alguns exemplos:
a) 4√32 = 32/4
b) 2√5 = 51/2
Raiz de um produto e quociente
Podemos desmembrar uma raiz, para simplificar os nossos cálculos. Veja os exemplos:
a) √3.4 = (3.4)1/2 = 31/2. 41/2 = √3. √4
b) 3√2/7 = 2/71/3 = (21/3) / (71/3) = 3√2/ 3√7
Raiz de uma raiz
Podemos tranformar uma raiz de uma raiz em uma única raiz, na qual o índice resultante é o produto dos índices. Veja os exemplos:
a) 2√7√8 = (7√8)1/2 = (81/7)1/2 = 81/14 = 14√8 (2.7= 14)
b) 3√4√2 = (4√2)1/3 = (21/4)1/3 = 21/12 = 12√2 (3.4= 12)
Simplificação de radicais
Existem casos em que é necessário simplificar a escrita das raízes. Isso ocorre quando não é possível calcular a raiz exata de um número. Veja, por exemplo, o número √245:
Inicialmente, decompomos o radiciando em fatores primos:
245 | 5
49 | 7
7 | 7
1
√245 = √72.5
Aplicando as propriedades, temos que: √72.5 = √72 .√5 = 7.√5, ou seja, a simplificação de √245 é 7√5
Veja outros exemplos:
a) 4√8 = √42.8 = √16.8 = √128
b) 2.34√2 = 4√24.34.2 = 4√16.81.2 = 4√2592
Aproximação de uma raiz
Os babilônios utilizavam um método bem interessante para encontrar aproximações de raízes, veja um exemplo com √20.
Se você usar uma calculadora a raíz de 20 é aproximadamente 4,472.
Agora vejamos como os babilônios chegavam nesse valor:
- Primeiro vamos desenhar um retângulo com a área de 20:
- Agora vamos encontrar a média desse retângulo: (4+5)/ 2 = 4,5
Porém, 4,5 . 4,5 = 20,25, ou seja, não é uma boa aproximação.
- Então fazemos 20/ 4,5 = 4,444
- Agora temos outro retângulo com 4,5. 4,444, mas como queremos um quadrado, novamente vamos encontrar a média: (4,5 + 4,444)/ 2 = 4,472
Agora temos que: 4,472 . 4,472 = 19,999, ou seja encontramos a aproximação da raiz de 20 (o mesmo valor da calculadora).