Fórmula do Termo Geral da P.A.
Uma progressão aritmética é uma sequência na qual, dado um primeiro termo, obetemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 6 e acrescentar 4, diversas vezes:
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42 ...
O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R), nesse exemplo, temos: a1 = 6 e r =4
A razão pode ser definida como a diferença entre qualquer termo e o anterior.
A fórmula geral
Será que para saber o 10º termo de uma P.A. precisamos somar todos os termos? Vamos analisar a imagem abaixo:
Vamos imaginar que queremos descobrir qual é o valor onde se encontra o retângulo verde.
Perceba que essa escada pode ser representada por uma P.A., onde a altura do degrau representa a razão (R) e a base vermelha seria o 1º termo (a1).
Vamos equacionar o nosso problema: a4 = a1 + 3.r
Aplicando essa lógica, podemos encontrar a fórmula do termo geral de uma P.A. que é:
an = a1 + ( n-1 ) . r
Podemos também deduzir de maneira simples uma outra fórmula, imagine que você esteja no 4º andar e deseja ir para o 7º, qual seria a distância a ser percorrida? É claro que seria 3r. Podemos escrever isso em uma fórmula que relaciona dois termos de uma P.A. : a7 = a4 + ( 7-4) .r, a fórmula geral seria:
am = an + ( m-n ) .r
Vamos verificar alguns exemplos:
1) Um aluno escreve os números pares de 16 a 64, quantos números ele escreveu?
Aplicando a fórmula temos:
an = a1 + ( n-1 ) .r
64 = 16 + ( n-1) .2
64 -16 = 2n -2
64 -16 +2 = 2n
50 = 2n
50 /2 = n
25 = n
Chegamos a conclusão que ele escreveu 25 números.
2) O 4º termo de uma P.A. é 20 e o 9º termo 45, qual é o 20º termo dessa P.A.?
Agora vamos aplicar a fórmula que relaciona os termos de uma P.A para descobrir sua razão:
am = an + ( m-n ) .r
45 = 20 + ( 9-4 ). r
45 = 20 + 5r
45 -20 = 5r
25 = 5r
25 / 5 = r
5 = r
Com o valor da razão podemos usar a mesma fórmula para descobrir o valor do 20º termo:
am = an + ( m-n ) .r
am = 45 + ( 20-9) .5
am = 45 + 11.5
am = 45 +55
am = 100
Agora você já sabe como funciona a fórmula geral de um termo de uma P.A. tente resolver o desafio inicial, caso não consiga, acompanhe a resposta aqui e não deixe de praticar, utilize os exercícios e domine os conhecimentos matemáticos e a lógica por trás deles.