Função do 2° Grau

  (Vídeo-aula)

 

 

Uma função do 2º grau pode ser representada por: y =ax² +bx+c=0. Exemplos:

a) y=x². Onde a=1, b=0, c=0.

b) y=3x² -4x +5. Onde a=3, b = -4 e c = 5.

Concavidade

Se a > 0, concavidade U

Se a < 0, concavidade Ω

Exemplo: y = x², a = 1, logo a concavidade será U.

 

Vértice

 

Podemos calcular o vértice de uma função do 2o grau da seguinte maneira:

- O valor do vértice em x pode ser calculado pela forma: 

- O valor em y pode ser encontrado substituindo o x na função pelo xv.

Exemplo:

1) Função: y=x². a=1, b=0.

Máximos e mínimos

- Se o a > 0, o vértice e o mínimo da função.

- Se o a < 0, o vértice e o máximo da função.

Exemplos:

1) Y=x², a=1, logo o vértice é o mínimo da função

2) y = x² -6x +8, a=1, logo o vértice é o mínimo da função

 

Tabela

Podemos utilizar uma tabela para definir algumas coordenadas das funções. Exemplos:

 


1) y=x²                        Vértice  = (0,0)

x

Y=x²

y

2

Y = (-2)² = 4

4

-1

Y = (-1)² = 1

1

0

Y = (0)² = 0

0

1

Y = (1)² = 1

1

2

Y = (2)² = 4

4

 

2) y=x² -6x +8              Vértice  = (3,5)

x

Y=x² -6x +8

y

1

Y=(1)² -6(1)+8

Y=1-6+8

Y=-5+8=3

3

2

Y=(2)²-6(2)+8

Y=4-12+8

Y=-8+8=0

0

3

Y=(3)²-6(3)+8

Y=9-18+8

Y=-9+8 = -1

-1

4

Y=(4)²-6(4)+8

Y=16-24+8

Y=-8+8=0

0

5

Y=(5)²-6(5)+8

Y=25-30+8

Y=-5+8 = 3

3

 

Gráfico de uma função

Podemos construir o gráfico de uma função do 2o grau, marcando as coordenadas encontradas na tabela no plano cartesiano. Exemplos:

1) y = x²                      (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)

2) y = x² -6x +8          (1,3), (2,0), (3,-1), (4,0), (5,3)       

Lista de funções:

 

1ºF – Uma pedra caindo: y = -2x² (x’=0,x”=0)

2ºF – Velocidade crescimento população: y=x²+2x (x’=0,x”=-2)

3ºF – Um tiro de canhão: y=-2x²+2x (x’=0,x”=1)

4ºF – O lucro de uma empresa: y = -x²+x+2 (x’=-1,x”=2)

 

 

Exercícios

A) Determine a concavidade das funções:

1) a=5, Ω        2) a=1, U        3) a=2, Ω        4) a=-1, Ω      

 

B) Calcule o vértice das funções:

xv = - (b/2a)

1) xv = - (b/2a) = - (0/2.-2) = - (0/-4) = 0

yv = 2x² = 2.0² = 2.0 = 0

 

2) xv = - (b/2a) = - (2/2.1) = - (2/2) = -1

yv = x² +2x = -1² +2.-1 = 1 -2 = -1

 

3) xv = - (b/2a) = - (2/2.-2) = -(2/-4) = -(-0,5) = +0,5

yv = -2x²+2x = -2.(+0,5)²+2.(+0,5) = -2.0,25 +1 = -0,5 +1 = +0,5

4) xv = - (b/2a) = - (1/2.-1) = - (1/-2) = 0,5

yv = -x² +x +2 = -(0,5)² + (0,5) +2 = -0,25 +2,5 = 2,25

 

C) Determine se o vértice das funções é máximo ou mínimo:

1) Máximo      2) Mínimo      3) Máximo     4) Máximo     5) Mínimo

 

D) Complete as tabela e esboce o gráfico das funções: