Distância, ponto médio e alinhamento
Distância entre dois pontos no plano cartesiano
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância (A,B).
No triângulo ABC, pelo teorema de Pitágoras, temos:
[d(A,B)]² = [d(A,C)]² + [d(B,C)]², simplificando temos a fórmula geral para calcular a distância entre dois pontos:
d(A,B) = √(x2-x1)² + (y2-y1)²
Veja um exemplo:
1) Calcular a distância entre os pontos A (-1,4) e B (3,2)
d(A,B) = √(x2-x1)² + (y2-y1)²
d(A,B) = √(3-(-1))² + (2-4)²
d(A,B) = √(4)² + (-2)²
d(A,B) = √16+4
d(A,B) = √20 = 2√5
Ponto médio
Observe a figura:
A coordenada (a,b) representa o ponto médio entre os pontos A e B. Observando as medidas, podemos encontrar seu valor:
Perceba que a distância total no eixo x é igual a 3 (4-1), sendo assim a coordenada "a" = 1,5
a = x1+ x2
2
No eixo y funciona da mesma forma, a distância é igual a 4 (5-1), sendo a coordenada "b" = 2
b = y2 - y1
2
Logo as coordenadas do ponto médio entre A e B = M = (1.5, 2)
Alinhamento de três pontos
Observe a imagem:
Esse foi último exemplo utilizado, veja uma propriedade dos triângulos semelhantes:
AE = EC 3 = 2 4 = 2
AD DB 1,5 2
Veja um exemplo:
1) Descubra se os pontos: A (6,2) B (9,3) e C (12,4) estão alinhados no plano cartesiano
(12 -6) = 6 = 2 (4 -2) = 2 = 2
(12 -9) = 3 (4-3) 1
Como 2 = 2, então os pontos A, B e C estão alinhados.
Agora que você já conhece as propriedades dos pontos no plano cartesiano, que tal praticar com esses exercícios? E aqui segue a resposta do desafio inicial.