Fórmula do Termo Geral da P.A.

    Uma progressão aritmética é uma sequência na qual, dado um primeiro termo, obetemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do número 6 e acrescentar 4, diversas vezes:

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42 ...

    O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-se razão (R), nesse exemplo, temos: a1 = 6 e r =4

A razão pode ser definida como a diferença entre qualquer termo e o anterior. 

A fórmula geral

    Será que para saber o 10º termo de uma P.A. precisamos somar todos os termos? Vamos analisar a imagem abaixo:

    Vamos imaginar que queremos descobrir qual é o valor onde se encontra o retângulo verde.

    Perceba que essa escada pode ser representada por uma P.A., onde a altura do degrau representa a razão (R) e a base vermelha seria o 1º termo (a1).

    Vamos equacionar o nosso problema: a4 = a1 + 3.r

    Aplicando essa lógica, podemos encontrar a fórmula do termo geral de uma P.A. que é:

an = a1 + ( n-1 ) . r

    Podemos também deduzir de maneira simples uma outra fórmula, imagine que você esteja no 4º andar e deseja ir para o 7º, qual seria a distância a ser percorrida? É claro que seria 3r. Podemos escrever isso em uma fórmula que relaciona dois termos de uma P.A. : a7 = a4 + ( 7-4) .r, a fórmula geral seria:

am = an + ( m-n ) .r

    Vamos verificar alguns exemplos:

1) Um aluno escreve os números pares de 16 a 64, quantos números ele escreveu?

Aplicando a fórmula temos:

an = a1 + ( n-1 ) .r

64 = 16 + ( n-1) .2

64 -16 = 2n -2

64 -16 +2 = 2n

50 = 2n

50 /2 = n

25 = n

Chegamos a conclusão que ele escreveu 25 números.

2) O 4º termo de uma P.A. é 20 e o 9º termo 45, qual é o 20º termo dessa P.A.?

Agora vamos aplicar a fórmula que relaciona os termos de uma P.A para descobrir sua razão:

am = an + ( m-n ) .r

45 = 20 + ( 9-4 ). r

45 = 20 + 5r

45 -20 = 5r

25 = 5r

25 / 5 = r

5 = r

Com o valor da razão podemos usar a mesma fórmula para descobrir o valor do 20º termo:

am = an + ( m-n ) .r

am = 45 + ( 20-9) .5

am = 45 + 11.5

am = 45 +55

am = 100

    Agora você já sabe como funciona a fórmula geral de um termo de uma P.A. tente resolver o desafio inicial, caso não consiga, acompanhe a resposta aqui e não deixe de praticar, utilize os exercícios e domine os conhecimentos matemáticos e a lógica por trás deles.