Teorema de Pitágoras
Pitágoras não foi o primeiro a utilizar esse teorema, mas sim o primeiro a demonstrar e explicar como o teorema funciona.
obs: Para descobrir mais sobre Pitágoras, consulte essa página do site.
O Teorema de Pitágoras, pode ser utilizado para descobrir a medida de um dos lados de um triângulo retângulo.
O triângulo retângulo é um triângulo cujo um dos lados possui um ângulo de 90° (ângulo reto):
Nele os lados recebem nomes especiais de acordo com a sua posição sobre o ângulo reto.
Os lados que formam o ângulo reto, são chamados de catetos, e o lado que fica oposto ao ângulo e é o maior, é chamado de hipotenusa.
O Teorema de Pitágoras diz que:
"Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos".
É comum simplicar a nomeclatura dos lados do triângulo retângulo, chamando a hipotenusa de "a" e os catetos de "b" e "c", sendo assim, podemos simplificar o teorema para:
a² = b² + c²
Será que essa relação realmente é válida? Vamos testar na prática:
- Usando uma régua, faça uma linha na horizontal com uma medida qualquer (por exemplo:4cm)
- Depois trace uma linha na vertical perpendicular usando um esquadro (com 90º) partindo de uma das vértices da linha na horizontal com outra medida (por exemplo: 3cm)
- Agora trace uma linha fechando a figura e formando um triângulo retângulo.
- Agora vamos as contas:
- Eleve ao quadrado a medida de um dos lados do seu triângulo (no exemplo: 3² = 9)
- Eleve ao quadrado a outra medida (no exemplo: 4² = 16)
- Agora pegue a régua e veja quanto deu a medida da hipotenusa do seu triângulo (no exemplo: 5).
- Eleve essa medida ao quadrado também (no exemplo: 5² = 25).
- Perceba que a soma do quadrado dos catetos ( 9 + 16) é igual ao quadrado da hipotenusa ( 25 ).
Podemos comprovar com esse exemplo o funcionamento do teorema de pitágoras, um outro exemplo comprova a validade para o teorema com qualquer medida de um triângulo retângulo.
O cálculo da área de um quadrado é ladoxlado e de um triângulo é (ladoxlado)/2, sabendo dessas informações vamos analizar o quadrado da figura abaixo:
Para descobrir a área do quadrado maior, podemos utilizar dois métodos:
1 - Podemos calcular utilizando somente as medidas b e c, ou seja A = (b+c).(b+c), simplificando:
A = (b+c).(b+c)
A = b²+bc+bc+c² (usando a distributiva ou a soma dos quadrados perfeitos)
A = b² +2bc +c²
2 - Podemos calcular a área do quadrado maior somando a área das figuras menores, ou seja os 4 triângulos e o quadrado central.
A área dos triângulos at = b.c / 2
E a área do quadrado q = a²
Ou seja a área total é igual a 4. (b.c/2) + a²
Podemos simplificar essa equação, primeiro vou transformar o 4 que é igual a 2.2, logo a equação fica: 2.2. (b.c/2) + a²
Como estamos multiplicando por 2 e dividindo pelo mesmo valor podemos eliminar os dois termos, resumindo a equação para: A = 2bc + a²
As duas maneiras de encontrar a área do quadrado maior representam o mesmo valor, ou seja podemos dizer que:
A = b² +2bc +c² = A = 2bc +a²
Simplificando: b² +2bc +c² = 2bc +a²
Como temos o mesmo termo (2bc) nos dois lados da equação, podemos eliminar esse termo: b² + c² = a²
Chegamos assim a mais uma prova do teorema de pitágoras organizando a equação:
a² = b² + c²
Agora que você já sabe como funciona o teorema de pitágoras, tente resolver o desafio inicial, caso não consiga, ou queira comparar a sua resposta, clique Aqui.
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