Distância entre um ponto e uma reta
A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular traçada do ponto até a reta.
Podemos descobrir essa distância, conhecendo a localização do ponto, a equação da reta e uma relação dos triângulos retângulos:
"Em todo triângulo retângulo, o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura a ela relativa"
Veja esse exemplo:
bc = ah
4.3 = 5.2,4
12 = 12
Agora vamos ver um exemplo:
Calcule a distância do ponto (5,4) à reta x +2y -9 = 0
Vamos começar fazendo o desenho da reta, e para isso vamos precisar de dois pontos. Vou utilizar as coordenadas do ponto para isso:
x = 5 x +2y -9 = 0 5 +2y -9 = 0 2y = -5 +9 2y = 4 y = 4/2 = 2 (5,2)
y = 4 x +2y -9 = 0 x +2.4 -9 = 0 x +8 -9 = 0 x = -8 +9 x = 1 (1,4)
No triângulo PAB, conhecemos os catetos AP = 2 e BP = 4. Para calcular a hipotenusa temos:
AB2 = 22 +42 = 4 +16 = 20
AB = √20 = √4.5 = 2√5
Agora podemos aplicar a relação anterior e descobrir a distância d
AP . BP = AB . d
2.4 = 2√5.d
8 = 2√5.d
8/2√5 = d
4/√5 = d
4/√5 . √5/√5 = 4√5 /5 ≈ 1,79
Existe uma fórmula prática para encontrar essa distância:
d = | ax0 +by0 +c|
√a2+b2
Sendo que:
O ponto P = (x0 e y0)
E a reta por: ax +by +c = 0
Vamos ver o nosso exemplo:
P = x0 = 5 y0 = 4
ax +by +c = 0
x +2y -9 = 0
d = | ax0 +by0 +c| = d = |1.5 +2.4 -9| = d = |5 +8 -9| = d = 4 = 4√5
√a2+b2 √12+22 √5 √5 5
O resultado, como era de se esperar, é o mesmo, e essa fórmula prática para encontrar a distância entre um ponto e uma reta.